1          SØSTRENES ALDER      

Svar:

Anne:             4 år 6 måneder
Berit:              6 år 8 måneder
Cecilie:          9 år 10 måneder

Løsning:

Annes alder:              x år
Berit alder:                (x + 2 2/12) år
Cecilies alder:          (x + 2 2/12 + 3 2/12) år

Dette gir ligningen x + (x + 2 2/12) + (x + 2 2/12 + 3 2/12) = 21
som fører til   x = 4 6/12

x + 2 2/12 = 4 6/12 + 2 2/12 = 6 8/12

x + 2 2/12 + 3 2/12 = 4 6/12 + 3 2/12 + 3 2/12 = 9 10/12

2          SEKSKANT I KVADRAT I KVADRAT

Svar:

AB = 12 cm

Løsning:

Det fargelagte området kan deles inn i et kvadrat og 2 trekanter (til høyre og til venstre for kvadratet, som ligger i midten). Hver av trekantene utgjør ¼ av kvadratet, slik at de 2 trekantene i sum er halvparten av kvadratet, eller 1/3 av hele det fargelagte området. Dermed ar kvadratet 2/3 av det fargelagte området, som blir 2/3 x 54 cm² = 36 cm². Dette gir at siden i kvadratet (som er kvadratroten av arealet av kvadratet) er 6 cm. Figuren viser at siden i kvadratet er ½ x AB, og dermed er AB 12 cm.

3          ”BOKSTAVREGNING”

Svar:

B = 5
C = 2
D = 6

Løsning:

B, C og D kan ikke ha verdien 1, 3 eller 4.

Siste siffer:

D er 2, 5, 6, 7, 8, 9 eller 0, som vil gi at 
C er 4, 0, 2, 4, 6, 8 eller 0.
Dermed må D være 5, 6, 7, 8 eller 9

Nest siste siffer:

Samtlige alternativer for D utløser mentetall i tillegg til C + C. Dermed er det klart at B må være et oddetall, dvs. 5, 7 eller 9

Annet siffer:

B + D (pluss eventuelt mentetall) gir summen 11. D er minst 5, og dermed er B maks. 5, ettersom summen C + D er lik 10 eller 11 (avhengig av eventuelt mentetall). Vi har fastslått at B er et oddetall, og 1 og 3 er uaktuelle. Dermed vet vi at B = 5.

Nest siste siffer:

C + C + mentetall gir summen 5. Det betyr at C = 2.

Siste siffer:

D + D = 2 eller D + D = 12
Det første alternativet gir D = 1, som i utgangspunktet er utelukket. Dermed er D = 6.

Det ferdige regnestykket blir altså slik:

4          TERNINGKAST

Løsning:

a)        Min. 3 terninger (f.eks. 6-6-1)
            Maks. 13 terninger

b)        3 mulige kombinasjoner:

c)         Lisa fikk max. 11 poeng (2 x 6 – 1 = 11)

Max. 11 øyne med 3 terninger kan oppnås på disse måtene:

     21 + 13 = 34

d)        Antall øyne på en terning som er primtall, er 2, 3 og 5.

2+3+5=10  

10 er ikke primtall. Dermed må minst 2 av terningen vise samme antall øyne.

Men de 3 terningen kan ikke alle vise samme antall øyne, for da blir summen av antall øyne lik 3 ganger antall øyne på en terning.

Ett kast med 3 terninger som alle viser et antall øyne som er primtall, kan forekomme på disse måtene:

Vilkåret i oppgaven er oppfylt i de 3 eksemplene som er merket henholdsvis x, xx og xxx.

5          KLASSETUR

            Svar:   26 elever
                        635 kroner per elev

            Løsning:

Ved å øke innbetaling per elev fra 600 kroner til 650 kroner, øker samlet innbetaling med (910 + 390) kroner = 1.300 kroner

1.300 kroner fordelt med 50 kroner per elev gir (1.300 : 50) elever = 26 elever

Når det mangler 910 kroner fordelt på 26 elever, mangler det per elev:

910 kroner: 26 = 35 kroner

Dermed er prisen per elev: (600 + 35) kroner = 635 kroner.

6          EKSPRESSBUSSENE

            Svar:   a)        11 busser

b)                 06.00 og 10.30

c)                  14 busser

Løsning:

a)                 21.00-bussen fra Berlin kvelden før ankommer til München akkurat idet 06.00-bussen kjører fra München. I tillegg møter 06.00-bussen fra München alle busser som starter fra Berlin i løpet av den tiden bussen fra München er underveis. Den møter altså de 10 bussene som starter fra Berlin i tidsrommet 06.00 – 17.00.

b)                 Siste buss fra Berlin dagen/kvelden før kjører inn på bussholdeplassen i München kl. 06.00, dvs. idet 06.00-bussen fra München starter.

Neste møte er når de to 06.00 bussene møtes. De møtes når begge er kommet halvveis, dvs. etter 4 ½ timer. Da er klokken 10.30.

c)                 17.00-bussen fra Berlin møter samtlige busser som er underveis mens den selv er på vei mellom Berlin og München. Dermed møter den alle busser som starter i tidsrommet 08.00 – 02.00. Ettersom siste buss starter kl. 21.00, møter den de 14 bussene som starter i tidsrommet 08.00 – 21.00.

7          SKYGGELAGTE HALVSIRKLER

            Svar: 40 cm²

            Løsning:

            Den skyggelagte delen av den største sirkelen er halvparten av 64 cm², dvs. 32 cm².

Diameteren og dermed radien i den minste sirkelen er halvparten av diameter/radius i den største sirkelen. Dermed er arealet av den minste sirkelen ½ x ½ = ¼ arealet av den største sirkelen. Og arealet av den minste halvsirkelen er ¼ av arealet av den største halvsirkelen. ¼ av 32 cm² er 8 cm².

32 cm² + 8 cm² = 40 cm².

8          TVERRSUMMER

            Løsninger:

a)     6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

 5 – 14 – 23 – 32 – 41 – 50
104 – 113 – 122 – 131 – 140
203 – 212 – 221 – 230
302 – 311 – 320 
401 – 410
500

b)     8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36

 7 – 16 – 25 – 34 – 43 – 52 – 61 – 70
106 – 115 – 124 – 133 – 142 – 151 – 160
205 – 214 – 223 – 232 – 241 – 250
304 – 313 – 322 – 331 – 340
403 – 412 – 421 – 430
502 – 511 – 520
601 – 610
700

c)      21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56

      Som i a) og dessuten disse:

      1004 – 1013 – 1022 – 1031 – 1040
      1103 – 1112 – 1121 – 1130
      1202 – 1211 – 1220
      1301 – 1310
      1400

      2003 – 2012 – 2021 – 2030
      2102 – 2111 – 2120
      2201 – 2210
      2300

      3002 – 3011 – 3020
      3101 – 3110
      3200

      4001 – 4010
      4100

                  5000