UKENS NØTT          

2008/09

Finale

Oppgaver med løsninger

A: OPPGAVER (Løsningene er samlet mot slutten av filen.)

1          REGNING MED KORT       

a)     Han har fått i oppgave å legge de 9 kortene slik at alle de 4 oppgavene nedenfor gir samme svar. Hvordan må han legge kortene? 

b)     Nå skal han legge tre oppgaver med de 9 kortene. Han må bruke de oppgitte regnetegnene:

2          LOGIKK-QUIZ

Quiz-masteren går bort til Lise og Kari og sier: „Her har jeg 3 små klistremerker, 2 blå og 1 gult. Nå skal dere lukke øynene mens jeg fester et klistremerke i pannen på hver av dere. Det tredje klistremerket putter jeg i lommen min uten at dere får se fargen på det. Nå kan dere åpne øynene og se hvilken farge det er på klistremerket i pannen til den andre. Den som først kan si hvilken farge det er på klistremerket jeg har puttet i lommen min, har vunnet.”

Det tar en stund før Kari eller Lise sier noe som helst, men til slutt sier Lise: „Jeg kan ikke avgjøre hvilken farge det er på klistremerket du har i lommen.” Da sier Kari: ”Ettersom Lise ikke kan avgjøre hvilken farge det er klistremerket i lommen, er jeg sikker. Det må være …..”

Forklar hva Kari svarte og hvordan hun kunne vite svaret.

3          BALLPYRAMIDE

4          KULER I ULIKE FARGER

I en kasse ligger det hvite, grønne, røde og blå kuler. Det er 100 kuler av hver farge. Med bind for øynene skal Per ta kuler ut av kassen.

a)     Hvor mange kuler må Per minst ta ut av kassen for å være sikker på å få tak i minst 10 kuler av samme farge?

b)     Hvor mange kuler må Per minst ta ut av kassen for å være sikker på å få tak i minst 10 kuler av samme farge og dessuten minst 10 kuler av en annen farge?

c)      Hvor mange kuler må Per minst ta ut av kassen for å være sikker på å få ut minst 10 kuler av hver av de fire fargene?

5          SIRKEL I RETTVINKLET TREKANT

B: LØSNINGER

1          REGNING MED KORT     

a)      

b)      

2          LOGIKK-QUIZ

Hvis en av jentene har det gule klistremerket i pannen, vil den andre se det og straks skjønne at de blå merkene er på egen panne og i quiz-masters lomme.

Svarene viser at ingen kan se det gule klistremerket i konkurrentens panne.

Lise er den første som innrømmer at hun ikke kan se det gule klistremerket.

Dermed skjønner Kari at hun ikke har det gule merket i pannen. Siden hun heller ikke ser det i Lises panne, skjønner hun at quiz-master har puttet det gule klistremerket i lommen.

Dermed sa Kari dette til quiz-master:
”Ettersom Lise ikke kan avgjøre hvilken farge det er klistremerket i lommen, er jeg sikker. Det må være det gule klistremerket du har i lommen.”

3          BALLPYRAMIDE

Løsning:

a)        (0,44 : 0,04) · (0,44 : 0,04) baller = 11 · 11 baller = 121 baller

b)        For hver etasje reduseres siden i kvadratet med 1 ball. 
               Dermed er det 11 etasjer i pyramiden.

c)        Antall baller i pyramiden:  
               11·11 + 10·10 + 9·9 ……….+ 3·3 + 2·2 + 1·1 = 
               121 + 100 + 81 + 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 506

d)        Det mangler (1240 – 506) baller = 736 baller

De neste etasjene nedover har (12·12 + 13·13 + 14·14 + 15·15) baller = 
(144 + 169 + 196 + 225) baller

144 + 169 + 169 = 736, dvs. at en pyramide bestående av 1240 baller har 15 etasjer

4          KULER I ULIKE FARGER

a)     37 kuler

Hvis han tar ut 36 kuler, kan han teoretisk ha tatt 9 kuler av hver av de fire fargene (4·9 = 36). Uansett hvilken farge et er på kule nr. 37, må det være minst 10 kuler av en farge.

b)     128 kuler

Teoretisk kan de 100 første kulene han tar ut, være av samme farge. Hvis han deretter tar ut 27 kuler, kan han ha tatt 9 kuler av hver av de 3 gjenstående fargene. Dermed må han ta enda en kule for å vær helt sikker.

c)      310 kuler

De 300 første kulene kan i teorien være 100 av hver av tre av fargene. I så fall er det 100 kuler av en og samme farge igjen, og han må ta ut 10 av denne resten.

5          SIRKEL I RETTVINKLET TREKANT

Men hvis vi utstyrer figuren med noen hjelpelinjer som vist på neste figur, ser vi at trekanten ABC består av de 3 trekantene ABO, ACO og BCO:

Summen av arealene av de 3 trekantene kan da uttrykkes slik:

Løser vi denne ligningen, finner vi at x = 2.

Dvs.: Radius i den innskrevne sirkelen er 2 cm .

07.05.09/23.09.09