Oppgaver og løsningsforslag (løsningene er samlet mot slutten av filen)

• Riktig svar : 5 poeng
• Galt svar :    0 poeng
• Blankt svar : 1 poeng
  • NB: Spesiell poenggivning på oppgavene 3, 4 og 7. – Se detaljer etter oppgaven.

1.         HUNDEGÅRDEN

Jansen skal gjerde inn en hundegård på gården sin. Han har 40 meter gjerde som han vil bruke, og hundegården skal være en rettvinklet firkant.

Hva er det største mulige arealet av en slik hundegård?

Velg ett av disse svaralternativene (i kvadratmeter):

2.         FARGELEGGING

3.         SYKKELTUREN

De tre vennene Hans, Kjell og Petter skal sykle fra Bryne til Stavanger.

Hans sykler i gjennomsnitt 2 kilometer på 10 minutter, mens Kjell klarer 2,5 km på 10 minutter. Petter tilbakelegger 3 km på 10 minutter og er fremme i Stavanger etter 100 minutter.

Hvor mange minutter etter Petter ankommer Hans og Kjell til Stavanger, når alle tre startet samtidig fra Bryne?

SVAR:

Poeng på denne oppgaven:
Korrekt svar A gir 2 poeng, mens korrekt svar B gir 3 poeng (samlet for begge: 5 poeng).
2 blanke svar gir 1 poeng. 2 gale (eller 1 galt og 1 blankt) svar gir 0 poeng.

4.         GRUSGANGEN

En rektangelformet gressplen er omgitt av en grusgang (som er like bred på alle sider av plenen) og et gjerde.

Gressplenen er 32 meter lang og har et areal på 800 m². Hver av de to korteste delene av gjerdet er 33 meter lang.

A)        Hvor bred er grusgangen mellom gressplenen og gjerdet?

Hele grusgangen er gruslagt med et 15 cm tykt lag med grus (vi regner at gruslaget har samme tykkelse over alt).

B)        Hvor mange m³ grus går med til grusleggingen?  

NB: Begge svarene i denne oppgaven skal oppgis uten desimaler.

Poeng på denne oppgaven:
Korrekt svar A gir 2 poeng, mens korrekt svar B gir 3 poeng (samlet for begge: 5 poeng).
2 blanke svar gir 1 poeng. 2 gale (eller 1 galt og 1 blankt) svar gir 0 poeng.

5.         FRA LILAVATI

Den indiske matematikeren Bhaskara, som levde på 1100-tallet, laget en samling oppgaver til sin kjære datter Lilavati. Her finner vi blant annet:

Av en bisverm slo en femdel seg ned på en cadamba og en tredel på en silindri.  Tre ganger differansen mellom disse to flokkene slo seg ned på en cutaja, mens den siste bien summer omkring i luften fristet som den er av både en sjasmins og en padanus’ søte vellukt.

Si meg, vakre Lilavati, hvor stor er bisvermen?

6.         TREKANT I SEKSKANT

 
7.         VINKLER

Hvor mange grader er vinkelen mellom minuttviseren og timeviseren i disse tilfellene? Vi forutsetter at begge viserne beveger seg med jevn hastighet.

Poeng på denne oppgaven:
Korrekt svar A gir 2 poeng, mens korrekt svar B gir 3 poeng (samlet for begge: 5 poeng).
2 blanke svar gir 1 poeng. 2 gale (eller 1 galt og 1 blankt) svar gir 0 poeng.

8.         SJUERGRUPPER

På en skole er elevtallet mindre enn 200.

Når elevene deles i grupper
    - på 2 og 2 elever, blir 1 elev til overs
    - på 3 og 3 elever, blir 2 elever til overs
     - på 4 og 4 elever, blir 3 elever til overs
    - på 5 og 5 elever, blir 4 elever til overs
    - på 6 og 6 elever, blir 5 elever til overs
    - på 7 og 7 elever, blir det ingen elever til overs

Hvor mange elever er det på skolen? 

Løsningsforslag:

1.         HUNDEGÅRDEN

   Svar:   A – 100 m²

I en firkant hvor omkretsen er 40 meter, blir gjennomsnittslengden for sidene 10 meter.

Det største rettvinklede firkanten med omkrets 100 meter er kvadratet med 
side 10 meter: 10 m x 10 m = 100 m²

2.         FARGELEGGING

    Svar:   30 måter

De tre fargene kan kalles R (rød), B (blå) og G (gul).

Dermed har vi 10 muligheter med farge R i 1, og det er 10 ulike muligheter med farge B i 1 og 10 muligheter med farge G i 1.

I alt:  3 x 10 muligheter = 30 muligheter

3.         SYKKELTUREN

Svar:   Hans kommer frem 50 min. etter Petter, og Kjell kommer frem 20 min. etter Petter.

Opplysningene om Petter gir oss avstanden mellom Bryne og Stavanger (30 km): Petter bruker 10 x 10 min. = 100 min. på turen fra Bryne til Stavanger, og siden han sykler 3 km pr. 10 min, blir avstanden 10 x 3 km = 30 km.

Dermed bruker Hans (30/2) x 10 min = 150 minutter, 
og Kjell bruker (30/2,5) x 10 min = 120 minutter.

4.         GRUSGANGEN

Svar:   A)  4 m
            B)  78 m³

Bredden av gressplenen er (800  : 32) m = 25 m

Bredden av gressgangen er halvparten av differensen mellom bredden på hele området minus bredden på gressplenen: (33 – 25) m : 2 = 4 m

Lengden av hele området er lik lengden av gressplenen pluss bredden av de to grusgangene på hver ende av gressplenen: 25 m + 4 m + 4 m = 40 m

Arealet av hele området er da 40 m x 33 m = 1320 m²

Arealet av grusgangen er lik arealet av hele området minus arealet av gressplenen: 
1320 m² – 800 m² = 520 m²

Volumet av grusen i grusgangen: (520 x 0,15) m³ = 78 m³

5.         FRA LILAVATI

Svar:   15 bier

Forklaring ved regning:
En femdel pluss en tredel av svermen slo seg ned på cadamba- eller silindriblomstene. Dette utgjør til sammen 3/15 + 5/15 = 8/15 av svermen. Tre ganger differansen mellom disse flokkene utgjør 3 x  ( 5/15 – 3/15) = 6/15, som slo seg ned på cutajablomsten. Til sammen slo altså 14/15 av svermen seg ned på disse tre blomstene, mens den siste bien må utgjøre resten, nemlig 1/15 av svermen, som da må bestå av 15 bier.

Forklaring ved likning:
            La bisvermen bestå av x  bier. Opplysningene i oppgaven gir oss da likningen

x/5 + x/3 + 3 ( x/3 – x/5) + 1  = x ,

som ganget med fellesnevner 15 gir oss likningen

3x + 5x + 15x – 9x + 15 = 15x ,

som organisert litt gir x = 15 .

         En tredje tilnærmingsmåte:

Siden både en femdel og en tredel av antall bier skal være et helt antall bier, så må antall bier være et multiplum av 3 x 5 = 15.

Dvs. at antallet må være 15, 30, 45, ….. . Prøver vi med 15, ser vi at det er ok.

6.         TREKANT I SEKSKANT

            Svar:   37,5 %  (som brøk: 9/24 = 3/8)

            Oppgaven kan løses i to ”operasjoner”:

7.         VINKLER

Svar:   A:  60°
            B:  100°

Sirkelbuen mellom hvert av de store tallene på urskiven er 360° : 12 = 30°.

I oppgave A er vinkelen dermed 2 x 30° = 60°.

I oppgave B ser vi at vinkelen mellom 4 og 7 på urskiven er 3 x 30° = 90°. Men kortviseren står et eller annet sted mellom 7-tallet og 8-tallet. Når klokken, som i dette tilfellet, er 07:20, har kortviseren beveget seg 20/60 av vinkelen mellom 7-tallet og 8-tallet. 20/60 tilsvarer 1/3, og 1/3 av 30° er 10°.

Vinkelen i oppgave B er dermed 90° + 10° = 100°.

8.         SJUERGRUPPER

            Svar:   119 elever

Inndeling i grupper á 6 elever viser at skolen har minst 11 elever.

Inndeling i grupper á 2 elever viser at antallet elever er et oddetall, mens inndeling i grupper á 5 viser at antallet er 4 mer enn et tall som er delelig på 5.

Oddetall som er 4 mer enn et tall som kan deles på 5, slutter på 9.

Inndeling i grupper á 7 elever viser at antallet elever er delelig på 7.

Det er 3 tall under 200 som ender på 9 og er delelig på 7: 49, 119 og 189.

49 passer ikke, fordi 16 grupper á 3 elever utgjør 48 elever, og da blir det 1 elev til overs. Inndeling i grupper á 3 elever skulle gi 2 elever til overs.

189 passer ikke, fordi 63 grupper á 3 elever utgjør nettopp 189 elever, og da blir det 0 elever til overs. Inndeling i grupper á 3 elever skulle gi 2 elever til overs.

119 passer:
119 : 2 = 59 med 1 til rest
119 : 3 = 39 med 2 til rest
119 : 4 = 29 med 3 til rest
119 : 5 = 23 med 4 til rest
119 : 6 = 19 med 5 til rest
119 : 7 = 17 – og divisjonen går opp!