KappAbel - Konkurransen

UKENS NØTT

2007/08

Semifinale

Oppgaver med løsninger

Poenggivning på oppgavene:

Max. poeng pr. oppgave: 5 poeng
Ubesvart oppgave gir 0 poeng
Det kan det gis mellom 0 og 5 poeng for delvis riktig svar.

A: OPPGAVER (Løsningene er samlet mot slutten av filen.)

1 SLØYFE OG BÅND

Du skal knytte bånd med sløyfe på en pakke (som vist på figuren). Pakken måler 35 cm x 20 cm x 10 cm
(lengde x bredde x høyde).

Hvor mye bånd trenger du totalt, når sløyfen alene utgjør 25 % av båndet?

2 TRIMMEREN

En innsjø som har form som en likebent trekant. En trimmer befinner seg i A som ligger i et av hjørnene av innsjøen. De to andre hjørnene av innsjøen kaller vi B og C. Trimmeren vil til D.

Han vet:
A og B ligger like langt fra C
D ligger midt mellom B og C.

a) Tegn en skisse som viser sjøen og beliggenheten til de fire stedene ved sjøen.

Trimmeren vil gå langs sjøen fra A til D. Av kartet sitt ser han at han må gå 18 km hvis han går via C. Hvis han går via B, vil strekningen fra A til D være 14 km.

b) Hvor langt er det fra A til B?

3 VM PÅ SKØYTER

Innledning:

I sammenlagtstevner i hurtigløp på skøyter gjelder det å få lavest sammenlagt poengsum.

For hver distanse beregner man gjennomsnittstiden i sekunder per 500 m på distansen. Denne gjennomsnittstiden utgjør poengene for distansen.

Et par eksempler:

500 m på 36,25 sekunder gir 36,250 poeng.
5000 m på 6:25,55 minutter gir 38,555 poeng,
fordi 6:25,55 min = 385,55 sekunder, og 5000 m = 10 x 500 m.

På samme måte beregnes poengsummen på de andre distansene. Poeng i skøyteløp skrives alltid med 3 desimaler.

Oppgave:

KappAbel prøver seg på en gjetting av resultatet i VM på skøyter 2009. Kampen om mesterskapet står først og fremst mellom Håvard Bøkko og Sven Kramer.

Etter 1. dag (500 meter og 5000 meter) har Bøkko 73,894 poeng, mens Kramer har 74,026 poeng.

På 1500 meter får Bøkko tiden 1:43,68 min, mens Kramer får tiden 1:43,92 min.

Siste distanse er 10000 meter.

Hvor mange sekunder må Sven Kramer slå Håvard Bøkko med på 10000 meter for å få like mange poeng sammenlagt?

4 REGNESTYKKER

De fire tallene

skal plasseres inn i regnestykkene nedenfor slik at vi skal ha størst mulig resultat (svar):

og minst mulig, men positivt, resultat:

5 POSTBILEN

Postbilen skal levere post på postkontorene på stedene A, B, C, D og E, som har veiforbindelser som vist på figuren til venstre. Postbilen starter fra postkontoret i A og skal kjøre tilbake dit når all post er levert. Postbilen får bare kjøre en gang innom hvert av stedene hvor det skal leveres post.

a) Hvilke mulige kjøreruter finnes det?

Etter en tid skal også stedet F være med på postruten (se figuren). Fortsatt begynner turen i A, og postbilen får bare kjøre en gang innom hvert sted før den returnerer til A.

b) Hvor mange mulige kjøreruter finnes det nå?

6 HERR FLITTIG OG HERR RASK

Herr Flittig kjører nesten hver arbeidsdag moped hjemmefra til jobb. Vanligvis bruker han 45 minutter på turen.

Herr Rask bor i samme hus som herr Flittig og arbeider i samme bedrift. Han pleier imidlertid å kjøre bil til og fra jobb. En dag starter han hjemmefra 15 minutter senere enn herr Flittig, men ettersom han kan holde en gjennomsnittsfart på 72 km/h, er han fremme på jobb 5 minutter før herr Flittig.

a) Hvor lang vei har herr Flittig og herr Rask hjemmefra til arbeid?

b) Hva er mopedens gjennomsnittshastighet?

7 RENTEREGNING
(Tillatt hjelpemiddel: Lommeregner)

Hvis rentesatsen for to pengebeløp er den samme, vil de to beløpene gi en årsrente på henholdsvis 800 kroner og 1000 kroner.

Hvis rentesatsen for de to pengebeløpene endres til henholdsvis 3,5 % p.a. og 3,75 % p.a., vil den samlede årsrenten for de to pengebeløpene bli redusert med 162,50 kroner.

Finn de to pengebeløpene.

8 BALLER I KASSE
(Tillatt hjelpemiddel: Lommeregner)

To baller med diameter henholdsvis
2 cm og 20 cm ligger på bunnen av en kasse som er 43 cm lang og 35 cm bred (og høy nok til at det er mulig å sette lokk på når ballene ligger i kassen). Ballene ligger helt inne i hver sitt hjørne, så langt fra hverandre som mulig.

Hva er avstanden mellom ballene?

B: LØSNINGER

1 SLØYFE OG BÅND

Svar: 200 cm

Forklaring:

Bånd uten sløyfe utgjør:

(2 x 35 + 2 x 20 + 4 x 10) cm = 150 cm

Sløyfen er 25 % av helheten, dvs. båndet uten sløyfen utgjør (100 – 25) % = 75 % av hele båndet.

Hele båndet er dermed

2 TRIMMEREN

Løsning:

Svar: 8 km

Forklaring:

Fra A til D via C er 1½ gang strekningen AC.

Når AD via C er 18 km, ser vi at AC er
18 km : 1½ = 12 km, og CD er 6 km.

BD er like langt som CD, dvs. 6 km.

Dermed er AB 14 km – 6 km = 8 km

3 VM PÅ SKØYTER

Svar: 4,24 sek

Løsning:

Sven Kramer:

		Poeng:
1. dag		74,026
1500 m	1:43,92 min = 103,92 sek
	103,920 : 3 =	34,640
Poeng før 10000 m		108,666

Håvard Bøkko:

		Poeng:
1. dag		73,894
1500 m	1:43,68 min = 103,68 sek
	103,680 : 3 =	34,560
Poeng før 10000 m		108,454

Før 10000 m leder Håvard Bøkko med (108,666 – 108,454) poeng = 0,212 poeng.

10000 meter er 20 x 500 meter.

For å komme likt etter 4 distanser, må Sven Kramer dermed slå Håvard Bøkko med
20 x 0,212 sek = 4,24 sek.

4 REGNESTYKKER

A (størst mulig svar):
B (størst mulig svar):
C (minst mulig, men positivt svar):

5 POSTBILEN

Svar:

a) A-B-C-D-E-A
     A-B-C-E-D-A
     A-B-E-C-D-A
     A-D-C-B-E-A
     A-D-C-E-B-A
     A-D-E-C-B-A
     A-E-B-C-D-A
     A-E-D-C-B-A (8 mulige ruter)

b) 6 mulige ruter:
     A-B-F-C-D-E-A
     A-B-F-C-E-D-A
     A-D-C-F-B-E-A
     A-D-E-C-F-B-A
     A-E-B-F-C-D-A
     A-E-D-C-F-B-A

6 HERR FLITTIG OG HERR RASK

Svar:

a) 30 km
b) 40 km/h

Løsning:

a) Herr Rask bruker 45 min – (15 + 5) min = 25 min på turen hjemmefra til jobb.
Avstanden hjemmefra til jobb er dermed: (72 x 25/60) km = 30 km.

b) Mopedens gjennomsnittsfart er: (30 : 45/60) km/h = 40 km/h.

7 RENTEREGNING
(Tillatt hjelpemiddel: Lommeregner)

Svar: 20.000 kroner og 25.000 kroner

En mulig løsningsmåte:

Samlet årsrente til å begynne med: 800 kr + 1.000 kr = 1.800 kr

Endringen av rentesatsen til henholdsvis 3,5 % p.a. og 3,75 % p.a. gir en samlet rentenedgang på 162,50 kr. Det betyr en reduksjon i renten – og dermed i rentesatsen – på noe under 10 %. Hvis renten i utgangspunktet var 4 % p.a., representerer de ny rentesatsene en reduksjon på ca. 10 %.

La oss derfor anta at den opprinnelige rentesatsen var 4 % p.a..

I så fall var innskuddene henholdsvis

(800 x 100 / 4) kr = 20.000 kr

(1.000 x 100 / 4 ) kr = 25.000 kr

Ny rente av 20.000 kroner: (20.000 x 3,5 / 100) kr =	700,00 kr
Ny rente av 25.000 kroner: (25.000 x 3,75 / 100) kr =	937,50 kr
Ny samlet rente (antatt):	1.637,50 kr

Gammel rente – antatt ny rente: 1.800,00 kr – 1.637,50 kr = 162,50 kr

Konklusjon: Vår antakelse med hensyn til gammel rentesats (4 %) var korrekt.

Dermed: Beløpene var 20.000 kroner og 25.000 kroner.

S8 BALLER I KASSE

(Tillatt hjelpemiddel: Lommeregner)

Svar: 30 cm

Løsning:

Ballene sett ovenfra:	Ballene sett fra siden:

Avstanden mellom punktene der ballene hviler på kassebunnen, er .

Avstanden mellom ballenes sentra er , og avstanden mellom ballene er derfor 41 cm – 1 cm – 10 cm = 30 cm.

06.05.08

Hovedside

Om KappAbel

Konkurransen

Ukens Nøtt

Presseoppslag


KappAbel NO-4827 Frolands Verk Telefon: +47 - 37 03 73 14	Prosjektleder: Roald.Buvig@kappabel.com Webansvarlig: Knut.H.Hassel.Nielsen@idi.ntnu.no