Runde 1 - KappAbel 2002/2003

2006/07 – 2. runde

Oppgaver og løsninger – Norsk

Denne siden er todelt:

A: Oppgavene
B: Løsninger

Regler for poenggivning på oppgavene (i henhold til konkurransereglene) :

      ·        Riktig svar gir 5 poeng.
·        Galt svar gir 0 poeng
·        Ubesvart oppgave gir 1 poeng.
        o       NB: Spesiell poenggivning på oppgave 6 – Se detaljer etter oppgaven.

Arbeidstid: 80 minutter

Følgende hjelpemidler er IKKE tillatt: Mobiltelefon o.l. samt internett.

A: Oppgavene

1. VINKEL I TREKANT

På tegningen til venstre skal ABCD være et kvadrat, og ABE skal være en likesidet trekant.

Hvor mange grader er da vinkelen DEC?

SVAR:

Vinkelen DEC er

grader.

2. TOG I TUNNEL

Et 200 meter langt tog kjører inn i en 1 km lang tunnel klokken 14:59:30.
Toget holder jevn fart 120 km/t.

Hva er klokken når toget er helt ute av tunnelen?

SVAR:

Timer

Min.

Sek.

Klokken er

3. JOGGERUNDEN

Geir jogger sin vanlige runde hver morgen. Dette tar normalt en time. En dag han har dårlig tid, kutter han strekningen med 20% og øker farten med 20%.

Hvor lenge jogger Geir denne morgenen?

Velg ett av disse svaralternativene:

A: 30 min B: 36 min C: 40 min D: 41 min 20 sek E: 42 min

SVAR:

Alternativ

(A, B, C, D eller E)

4. KVADRAT I SIRKEL I KVADRAT

Hvor stor del av hele figuren er skravert?

Velg ett av disse svaralternativene:

A: 25,2 % B: 28,5 % C: 31,8 % D: 33,9 % E: 35,1%

SVAR:

Alternativ

(A, B, C, D eller E)

5. FRIMERKEKOMBINASJONER

Du skal sende et brev på 80 gram, der portoen er 13 kr. Du skal bruke frimerker med verdi 1 kr, 3 kr og/eller 5 kr, og du skal sette på nøyaktig riktig porto.

Hvor mange forskjellige kombinasjoner av frimerker kan du velge?

SVAR:

Antall mulige frimerkekombinasjoner er

6. MERSENNE-PRIMTALL

Når tall av typen

M_n = 2ⁿ – 1, for n = 1, 2, 3, …. (dvs. 2¹ – 1, 2² – 1, 2³ – 1 osv.)

er primtall, kalles de Mersenne-primtall etter den franske munken Marin Mersenne (1588 – 1648).

Skriv ned de fire minste primtallene som er av denne typen:

NB:
Av datatekniske grunner må denne oppgaven besvares ved at det skrives inn 4 ulike tall, eller ved at oppgaven forblir helt ubesvart.

Poenggivningen blir da slik:

0 poeng: 1, 2 eller 3 tomme svarruter (selv om en rute inneholder et riktig svar!)
1 poeng: 4 tomme svarruter (helt ubesvart oppgave)
2 poeng: 4 utfylte svarruter hvorav 1 korrekt
3 poeng: 4 utfylte svarruter hvorav 2 korrekt
4 poeng: 4 utfylte svarruter hvorav 3 korrekt
5 poeng: 4 korrekt utfylte svarruter

7. FARGELAGTE OMRÅDER

Hvis hvert av de små kvadratene på figuren har areal 1, hva er da det samlede arealet av de fargelagte områdene?

Velg ett av disse svaralternativene:

A: 3,5 B: 4 C: 4,5 D: 5 E: 5,5

SVAR:

Alternativ

(A, B, C, D eller E)

8. DIOFANTOS’ ALDER

Omtrent alt vi vet om den greske matematikeren Diofantos’ liv finner vi i denne oppgaven fra oppgavesamlingen kalt ”gresk antologi” :

Diofantos tilbrakte 1/6 av sitt liv som barn, 1/12 som ungdom og 1/7 til som ungkar. Fem år etter at han giftet seg, fikk de en sønn. Sønnen døde 4 år før sin far, og han var da 1/2 – parten så gammel som faren ble.

Hvor gammel ble Diofantos?

SVAR:

Diofantos ble

år gammel.

B: Løsninger

1. VINKEL I TREKANT

Vinkelen DEC er

150

grader.

Ettersom ABE er en likesidet trekant, er vinkel EAB = 60°, og vinkel DAE = 90° – 60° = 30°.

(Vi ser tilsvarende i høyre del av figuren.)

II.

Ettersom AD = AB = AE, er trekant AED likebenet, og vinklene ADE og AED er like store.

Vinkel ADE + vinkel AED = 180° – 30° = 150°, og dermed er vinkel AED = vinkel ADE = 75°.

III.

P.g.a. symmetrien i figuren er vinkel BEC = vinkel AED =
75°, slik at vinkel DEC =
360° - (vinkel AED + vinkel AEB + vinkel BEC) =
360° – (75° + 60° + 75°) = 150°.

IV og V er et alternativ til III:

IV.

Vinkel EDC og vinkel ECD er like store (pga. symmetrien i figuren).

Vinkel ECD = vinkel EDC = 90° – 75° = 15°.

Vinkel DEC = 180° – (vinkel EDC + vinkel ECD) =
180° - (15° + 15°) = 150°

2. TOG I TUNNEL

Timer

Min.

Sek.

Klokken er

Bakparten på det 200 meter lange toget må bevege seg 1,2 km for å komme helt ut av tunnelen. Med en fart på 120 km/t tar dette 1,2/120 timer = 1/100 time = 3600/100 sekunder = 36 sekunder. Tidspunktet da enden av toget er helt ute av tunnelen er derfor 14:59:30 + 00:00:36 = 15:00:06.

3. JOGGERUNDEN

Alternativ

(40 minutter)

På sin vanlige joggerunde holder Geir en fart F på en strekning som vi kan kalle S. Han bruker da en tid som er strekningen delt på farten, og som kan uttrykkes som S/F.

Denne er oppgitt til S/F = 1 time = 60 minutter.

Den morgenen Geir hadde dårlig tid, økte han farten med 20% til 1,2F, og han kuttet ned strekningen med 20% til 0,8S. Dette betyr at han nå bruker en tid som er

0,8S/1,2F = (8/12) × S/F = (2/3) × 60 minutter = 40 minutter.

4. KVADRAT I SIRKEL I KVADRAT

Alternativ

(28,5 %)

Vi kan ta utgangspunkt i sirkelens radius r. Det ytre kvadratet har da areal 4×r², og sirkelen har jo areal p×r². Det indre kvadratet har diagonal 2r. Vi kan se på det som satt sammen av to trekanter med grunnlinje 2r og høyde r, som da til sammen har areal 2×r².
Andelen som er skravert er derfor	.
For elever som kanskje ikke er så fortrolige med denne bokstavregningen, gjør vi utregningen en gang til. Denne gangen sier vi at sirkelens radius er 1 (vi bryr oss ikke om benevning, for utregningen er uavhengig av evt. benevning):
Vi kan ta utgangspunkt i sirkelens radius r. Det ytre kvadratet har da areal 4×r², og sirkelen har jo areal p×r². Det indre kvadratet har diagonal 2r. Vi kan se på det som satt sammen av to trekanter med grunnlinje 2r og høyde r, som da til sammen har areal 2×r².
Andelen som er skravert er derfor	.

5. FRIMERKEKOMBINASJONER

Antall mulige frimerkekombinasjoner er

Vi kan for eksempel liste alle kombinasjonene opp etter synkende antall 1 kroners merker i en slik tabell:

Verdi
Antall	13
	10	1
	8		1
	7	2
	5	1	1
	4	3
	3		2
	2	2	1
	1	4
		1	2
	NB: 12, 11, 9 og 6 ganger 1kr er umulig.

Dette er alle de 10 mulige kombinasjonene.

6. MERSENNE-PRIMTALL

De 4 første Mersenne-primtallene er:

127

M₁ = 2¹ – 1 = 1	1 er ikke primtall
M₂ = 2² – 1 = 3	3 er primtall
M₃ = 2³ – 1 = 7	7 er primtall
M₄ = 2⁴ – 1 = 15 = 3 x 5	15 er ikke primtall
M₅ = 2⁵ – 1 = 31	31 er primtall
M₆ = 2⁶ – 1 = 63 = 3 x 3 x 7	63 er ikke primtall
M₇ = 2⁷ – 1 = 127	127 er primtall

7. FARGELAGTE OMRÅDER

Alternativ

(4)

Sidelengden i en lite kvadrat er 1. Alle de 4 fargelagte trekantene har en slik sidekant. Med denne som grunnlinje har trekantene høgder henholdsvis 1, 2, 2 og 3. Summen av arealene blir dermed 1×(1+2+2+3)/2 = 4.

8. DIOFANTOS’ ALDER

Diofantos ble

år gammel.

Løsning ved eksperimentering:

En passende alder som er et multiplum av 6, 12, 7 og 2 er 7 x 12 = 84 år, og i så fall levde Diofantos 14 år som barn, 7 år som ungdom og 12 år til som ungkar. Han var 38 år da sønnen ble født, og sønnen ble 42 år gammel. Da sønnen døde var Diofantos 80 år og han levde bare 4 år til.

Vi ser at dette passer bra.

Løsning ved hjelp av ligning:

Du kan ha lyst til å bruke ligning og løse oppgaven ved hjelp av algebra slik:

Du kan da sette Diofantos’ alder til    x   år .

Sønnen ble født da Diofantos var x/6 + x/12 + x/7 + 5   år gammel.

Antall år som sønnen levde blir x/2 , slik at da sønnen dør er Diofantos

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 år, og han lever altså i 4 år til.

Dvs. vi har å løse ligningen

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4   = x

For å bli kvitt brøkene ganger vi begge sider med 7 x 12 = 84, og har

14x + 7x + 12x +   42x + 756    =   84x

Dvs.                            9x = 756   som gir x = 84

08.02.07/12.02.07

Arrangør : www.kappabel.com Prosjektansvarlig : Prosjektansvarlig Teknisk ansvarlig : Webansvarlig

Gode samarbeidspartnere :








	Frolands Verk Kultursenter KF