Oppgaver og løsningsforslag (løsningene er samlet mot slutten av filen)

1.     MANGESIFRET TALL

Sifrene i tallet

12345678910111213 ..... 997998999

framkommer ved å skrive de naturlige tallene 1, 2, 3, 4, ...., 999 i rekkefølge.

Hva er det 2006. sifferet fra venstre?

2.     REKTANGLER

To ulike rektangler, R1 og R2, har begge et areal på 360 kvadratcentimeter. Lengden av en side i R2 er 12 centimeter lenger enn den tilsvarende siden i R1. Den andre siden er 5 centimeter kortere enn den tilsvarende siden i R1.

Hva er forskjellen på omkretsene til de to rektanglene?

3.     REKKER MAGNE TOGET?

Magne skal sykle med racersykkelen sin for å nå toget. Det er 60 km til jernbanestasjonen. De første 20 km er svakt oppover. Da kan han holde jevn fart på 20 km/t. De neste 20 km er flatt. Her kan han holde en fart på 30 km/t. De siste 20 km er nedover, og her sykler Magne med farten 40 km/t. Toget går klokka 10.45.

Han skal beregne når han må sykle hjemmefra, og tenker slik:

"Gjennomsnittsfarten min vil være 30 km/t. Da må jeg dra hjemmefra klokka 08.40."

Når kommer Magne til stasjonen?

SVAR:

4.     HEMMELIG TALL

Finn det firesifrede tallet der

• alle sifrene er forskjellige 

• sifferet på tusenplassen er tre ganger sifferet på tierplassen

• tallet er et oddetall

• summen av sifrene er 27

SVAR:

5.     BOKSERIE

En bokserie på sju bøker ble utgitt slik at det kom ut en bok hvert 9. år. Da den sjuende boka ble utgitt, var summen av utgivelsesårene 13601.

Hvilket år ble den første boka utgitt?

6.     SIFFERPRODUKT OG SIFFERSUM

Hvor mange tosifrede tall finnes med følgende egenskap:

Når du legger sammen produktet av sifrene og summen av sifrene, får du tallet selv?

7.     FEMKANT I KOORDINATSYSTEM

Finn arealet av femkanten med hjørner i punktene

(8,10), (0,6), (0,-2), (12,-2) og (12,6)

8.     TERNINGKAST

Tre terninger blir kastet samtidig. Hvor mange kombinasjoner av tall på de tre terningene vil gi en sum som er mindre enn eller lik 5, og hvor mange ulike kombinasjoner er mulig?

SVAR:

Løsningsforslag:

1.     MANGESIFRET TALL

Rett svar:       Det 2006. sifferet fra venstre er 0.

Forklaring:

De ensifrede tallene er de første 9 sifrene. De tosifrede tallene (10 – 99) er de neste 180 sifrene. Det betyr at etter 189 siffer starter de tresifrede tallene. Det 2006. sifferet er blant disse tallene.

2006 – 189 = 1817

Deler vi på 3, finner vi hvor mange tresifrede tall som kommer før det 1817. sifferet. Det er

1817 : 3 = 605 2/3

Så vi er ute etter det andre sifferet i det 606. tresifrede tallet. Det første tresifrede tallet er 100, og det 606. tresifrede tallet er 705.

2.     REKTANGLER

Rett svar:       14 cm

Oppgaven kan enten løses ved å bruke en tabell, eller ved å bruke algebra, og formelen for arealet av et rektangel.

Algebra: 
Kall sidene i R1 for a og b. Da er sidene i R2 a + 12cm og b – 5cm

Omkretsen til R1 er 2a + 2b
Omkretsen til R2 er 2a + 24cm + 2b -10cm = 2a + 2b + 14cm

Forskjellen er 14 cm.

Tabell:
Tabellen viser mulige heltallige sider i centimeter for rektangler med areal 360 kvadratcentimeter (bruker ikke benevning i tabellen)

Første side	Andre side
1	360
2	180
3	120
4	90
5	72
6	60
8	45
9	40
10	36
12	30
15	24
18	20

I første kolonne er 3 og 15, og 6 og 18 kandidater for sidene i de to rektanglene, siden forskjellen er 12.

I andre kolonne er forskjellen 12 mellom 72 og 60, og mellom 36 og 24.

Det er bare ett sted de tilhørende sidene har en differens på 5. Det er for 36 og 24.

Sidene på R1 er 15cm og 24 cm med omkrets 78cm, mens sidene på R2 er 10cm og 36cm med omkrets 92cm. Forskjellen er 14cm.

3.     REKKER MAGNE TOGET?

Rett svar:       Magne kommer til stasjonen kl. 10.50, 
                               dvs. 5 min for sent til å rekke toget.

Gjennomsnittsfarten hans blir ikke 30 km/t.

Magne bruker 1t på de første 20 km.
Han bruker 40 min på de neste 20 km.
Han bruker 30 min på de siste 20 km.

Til sammen bruker han 2t 10min.

4.     HEMMELIG TALL

Rett svar:       Tallet er 9837.

Andre hint gir mulighetene 1, 2 eller 3 på tierplassen, med tilhørende 3, 6 eller 9 på tusenplassen

Summen av sifrene er 27. Da må summen av sifrene på tier- og tusenplassen være større enn eller lik 27 – 17 = 10 (siden summen av de to siste sifrene, som er forskjellige, må være mindre eller lik 9 + 8 = 17).

Da må det være 3 på tierplassen og 9 på tusenplassen. Summen av de siste sifrene er 15. Da må de være 8 og 7, og siden det er et oddetall, må 7 være på enerplassen og 8 på hundrerplassen.

5.     BOKSERIE

Rett svar:       Den første boka ble utgitt i 1916.

Gjennomsnittsåret for utgivelsene var 13601 : 7 = 1943. Den første boka ble utgitt 27 år før dette året, og den siste 27 år etter dette året. 1943 – 27 = 1916.

6.     SIFFERPRODUKT OG SIFFERSUM

Rett svar:       Det finnes 9 slike tosifrede tall: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99

Ethvert tosifret tall, kan skrives som 10a + b, der a er et heltall mellom 1 og 9, og b er et heltall mellom 0 og 9.

Betingelsene i oppgaven sier at    ab + (a + b) = 10a + b

Det gir at                                           ab =  9a, dvs. b= 9

7.     FEMKANT I KOORDINATSYSTEM

Rett svar:       Arealet er 120.

8.     TERNINGKAST

På denne oppgaven har juryen bestemt seg for å godkjenne 2 svar som riktig:

A:            4 kast av 56 mulige kombinasjoner

B:            10 kast av 216 mulige kombinasjoner  (6 × 6 × 6 = 216)

Juryen velger å la det komme deltakerne til gode at oppgaven kan oppfattes på 2 ulike måter, som kan illustreres ved at terningene i ett kast lander på 1, 1 og 3, og i neste kast på 1, 3 og 1.

Hvis man regner disse to kastene som samme resultat, er alternativ A riktig svar, men hvis disse 2 kastene (1,1,3) og (1,3,1) regnes som ulikt resultat, er alternativ B rett svar.

Terningene viser	Svar A	Svar B
1,1,1 1,1,2   1,2,1   2,1,1 1,1,3   1,3,1   3,1,1 1,2,2   2,1,2   2,2,1	1 3 3 3	1 1 1 1
	10	4

Ved svarregistreringen var det bare de som svarte 10 av 216 som fikk poeng. Dette vil bli rettet opp i resultatbanken før runde 2 starter. Klasser som har svart 4 av 56 (NB,: Trykkfeil i første versjon!), vil med andre ord få økt sin poengsum i runde 1 med 5 poeng.