Uppgifter och lösningsförslag (løsningene - på norsk - er samlet mot slutten av filen)

•  Rett svar ger 5 poäng.

• Fel svar ger 0 poäng. 

• Blankt svar ger 1 poäng.

• På nogra uppgifter kan det ges mellan 0 och 5 poäng för delvis riktigt svar.

   

 Lykke til
Oss i KappAbel

1.  SPECIELL TALFÖLJD  

Tolv hela tal skrivs efter varandra på en rad. Det fjärde talet är 4 och det tolfte talet är 12. Summan av tre som står bredvid varandra (tre grannar) är 333 oavsett var i talföljden de tre talen är.  

Fyll i de saknade talen i rutorna nedanför:

2.  FRÅN REKTANGEL TILL KVADRAT

Tre rektanglar med samma storlek och form är sammansatt till en större rektangel. Arean av den stora rektangeln är 168 cm².

Bestäm arean till en kvadrat som har samma omkrets som den stora rektangeln.

Skriv svaret i rutan.

3.  TRIANGLAR I EN SEXHÖRNING  

Ni väljer ut tre slumpmässiga hörn i en regelbunden sexhörning (alla sidor är lika långa och alla vinklar 120°).

Vad är sannolikheten för att triangeln som bildas av dessa tre hörn är en likbent eller liksidig triangel?

Ange svaret i procent.

4.  GO

Go är ett Japanskt spel där spelarna antingen placerar vita eller svarta brickor i kryssen på ett rutnät. Uppgiften består i att fånga kryssen innanför ett område man skapat med brickorna.

I exemplet på figuren är det 10 st svarta brickor utlagda för att fånga 3 st kryss.

Vad är det största antal kryss man kan fånga med 12 brickor?

5.  TÄRNINGSKAST

När tre vanliga tärningar kastas, vad är då mest sannolikt av alternativ a, b, c eller d nedanför?

A)    delbar med 3
B)    ger 1 till rest när summan delas med 3  
C)    ger 2 till rest när summan delas med 3  
D)    alla tre alternativen ovanför har samma sannolikhet  

Sätt kryss vid riktigt svarsalternativ (kom ihåg att många av summorna kan uppnås på flera sätt):

6.  MOROTSJUICE

En juicemaskin används till att producera morotsjuice. Den första gången du pressar morötterna, får du ut en fjärdedel av juicen. För varje gång du pressar morötterna efter detta, får du ut en fjärdedel av den juice som är kvar i morötterna.

Hur många gånger ska morötterna pressas för att du skall få ut minst två tredjedelar av juicen?

A)    2 gånger
B)    4 gånger  
C)    6 gånger  
D)    8 gånger  
E)    umöjligt oavsett antal försök 

Kryssa för det riktiga alternativet:  

7.  VAR KAN KARI BO?

Avståndet från Karis hus till Rådhuset är exakt dubbelt så stort som avståndet från huset till kyrkan. Du skall leta efter huset till Kari. Hur ska du leta för att vara helt säker på att hitta Karis hus?

Kryssa för det riktiga alternativet.

8.  PALINDROMTAL   

Ett palindromtal är ett tal som ”läses” lika framlänges och baklänges. 1331 är exempel på ett sådant tal. 123454321 är en annat exempel.

A)    Hitta ett palindromtal mindre än 100 000, som är delbart med 3, där produkten av siffrorna blir 200.

B)    Hur många palindromtal finns det med egenskapen att produkten av siffrorna är 200, men 1 är inte en siffra i talet?

Løsningsforslag:

1.  SPESIELL TALLREKKE

Svar:

Løsningsforslag:

1.      Summen av andre og tredje tall må være 333-4=329

2.      Summen av de tre første tallene er 333

3.      Av 1 og 2 følger at første tall er 4. På samme måte får vi at hvert 3. tall må være 4, slik:

4.      Tallet på 11. plass er 333-4-12=317

5.      Tallet på 9. plass er 333-4-317=12

6.      Nå ser vi at de samme tre tallene gjentar seg hele veien: 4, 317, 12

2.  FRA REKTANGEL TIL KVADRAT

 SVAR: Arealet av kvadratet er 175 cm².

 Løsningsforslag:

 Vi regner uten benevning.

I de tre rektanglene er kortsidene halvparten av langsidene. Vi kaller lengden av kortsidene for x.

Da er sidene i det store rektangelet 3x og 2x. Vi kan sette opp uttrykk for areal og omkrets:

Arealet: 2x × 3x = 168 , som gir 6x² = 168  eller  x² = 168 : 6 = 28

Omkretsen: 2x + 3x + 2x + 3x = 10x

La sida i kvadratet være s. Da er areal og omkrets henholdsvis s² og 4s. Omkretsene er like. Det betyr at:

4s = 10x , som gir s = 5/2 x

Arealet av kvadratet er:

A = s² = (5/2x)² = 25/4 × 28 = 175

Arealet av kvadratet er 175 cm².

3.  TREKANTER I EN SEKSKANT 

SVAR: 40%

Løsningsforslag:

For hvert punkt kan det lages 10 ulike trekanter hvor 3 er likebeint og 1 likesidet.

FIGUR:

4.  GO

SVAR: 13

Løsningsforslag:

Det går an ved å plassere brikkene i en kvadratform med sidekanter 45 grader med rutene.

5.  TERNINGKAST

SVAR: Alternativ D  (Alle tre alternativene er like sannsynlig.)

Løsningsforslag:

Med tre terninger kan følgende kast oppstå:

Vi ser at terningkast der 2 kast er like og ett forskjellig forekommer på 3 måter, 3 ulike på 6 måter og 3 like på 1 måte. Dvs, 

Sum 6 forekommer i kombinasjon (2,2,2) og (1,1,4) i tillegg til (1,2,3), dvs 10 ganger
Sum 7 forekommer i kombinasjon (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,3), dvs 15 ganger
Sum 8 forekommer i kombinasjon (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4), (2,3,3), dvs 21 ganger
Sum 9 forekommer i kombinasjon (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3), dvs 25 ganger
Sum 10 forekommer i kombinasjon ( (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4) dvs 27 ganger
Sum 11 forekommer i kombinasjon (1,4,6), (1,5,5), (2,3,6), (2,4,5), (3,3,5), (3,4,4) dvs 27 ganger
Sum 12 forekommer i kombinasjon (1,5,6), (2,4,6), (2,5,5), (3,3,6), (3,4,5), (4,4,4), dvs 25 ganger
Sum 13 forekommer i kombinasjon (1,6,6), (2,5,6), (3,4,6), (3,5,5), (4,4,5), dvs 21 ganger
Sum 14 forekommer i kombinasjon (2,6,6), (3,5,6), (4,4,6), (4,5,5), dvs  15 ganger
Sum 15 forekommer i kombinasjon (3,6,6), (4,5,6), (5,5,5), dvs 10 ganger 
Sum 16 forekommer i kombinasjon (4,6,6), (5,5,6), dvs 6 ganger
Sum 17 forekommer i kombinasjon (5,6,6), dvs 3 ganger
Sum 18 forekommer i kombinasjon (6,6,6), dvs 1 gang

OPPSUMMERING

Vi får 0 til rest når summen er 3, 6, 9, 12, 15 og 18, dvs 72 ganger
Vi får 1 til rest når summen er 4, 7, 10, 13 og 16, dvs 72 ganger
Vi får 2 til rest når summen er 5, 8, 11, 14 og 17, dvs 72 ganger

6.  GULROTJUICE

SVAR:  Alternativ B  (4 ganger)

7.  HVOR KAN KARI BO?

SVAR: Alternativ D  (et sted langs en sirkel med sentrum litt bortenfor kirken)

To figurer som kanskje illustrerer løsningen:

a)

b)

Forklaringer til figur b):

   R:     Rådhuset
   K:     Kirken
   S:     Sentrum i sirkelen

   H₁ og H₂:    To eksempler på plassering av Karis hus langs sirkellinjen
   a og 2a:      Avstanden fra huset (H₁) til henholdsvis kirken (K) og rådhuset (R)
   b og 2b:      Avstanden fra huset (H₂) til henholdsvis kirken (K) og rådhuset (R)

H₁ og H₂ finner vi ved å slå sirkelbuer med radius lik a og 2a og deretter med radius b og 2b med henholdsvis K og R som sentrum. Dette kan gjøres uendelig mange ganger, og det viser seg at skjæringspunktene for sirkelbuene ligger på en sirkel med sentrum i S (dvs. på den inntegnede sirkelen). Avstanden fra S til K er 1/3 av avstanden mellom K og R.

Skalaen under figuren illustrerer plassering av sirkelens sentrum i forhold til kirken og rådhuset, samt størrelsen på sirkelens radius i forhold til avstanden mellom kirken og rådhuset.

8.  PALINDROMTALL

Svar:   A) 585

            B) Tre tall (585, 52225 og 25252)