Oppgaver og løsningsforslag (løsningene er samlet mot slutten av filen)

•  Riktig svar gir 5 poeng.

• Galt svar gir 0 poeng. 

• Ubesvart oppgave  gir 1 poeng.

• På noen oppgaver kan det gis mellom 0 og 5 poeng for delvis riktig svar.

 Lykke til
Oss i KappAbel

1.  SPESIELL TALLREKKE

Tolv hele tall skrives etter hverandre på en rekke. Det fjerde tallet er 4 og det tolvte tallet er 12. Summen av tre nabotall er 333 uansett hvor i rekken det er.  

Fyll inn de manglende tallene:

2.  FRA REKTANGEL TIL KVADRAT

Tre rektangler med samme størrelse og form er satt sammen til ett større rektangel. Arealet til det store rektangelet er 168 cm².

Finn arealet til et kvadrat som har samme omkrets som det store rektangelet.

3.  TREKANTER I EN SEKSKANT

Dere velger ut tre tilfeldige hjørner i en regulær sekskant (alle sider like lange og alle vinkler 120°).

Hva er sannsynligheten for at trekanten som dannes av disse tre hjørnene er en likebeint eller likesidet trekant?  

Oppgi svaret i prosent.

4.  GO

Go er et japansk spill der spillerne etter tur plasserer hvite og sorte brikker i kryssene på et rutenett for å kapre kryssene i området innenfor.

I eksempelet på figuren er det brukt 10 brikker for å kapre 3 kryss.

Hva er det største antall kryss det går an å kapre med 12 brikker?

5.  TERNINGKAST

Når tre vanlige terninger kastes, hva er da det mest sannsynlige av alternativene nedenfor?

A)    at summen av tallene på terningene er delelig med 3
B)    at summen gir 1 til rest når det deles med 3  
C)    at summen gir 2 til rest når det deles med 3  
D)    Alle tre ovenfor er like sannsynlig  

Sett kryss ved riktig svaralternativ (husk at mange av summene kan oppnås på flere måter):

6.  GULROTJUICE

En juicemaskin brukes til å lage gulrotjuice. Den første gangen du presser gulrøttene, får du ut en firedel av juicen. For hver gang du presser gulrøttene etter dette, får du ut en firedel av den juicen som er igjen i gulrøttene.

Hvor mange ganger må gulrøttene presses for at du skal få ut minst to tredeler av juicen?

A)    2 ganger
B)    4 ganger  
C)    6 ganger  
D)    8 ganger  
E)    umulig uansett antall forsøk 

Kryss av på riktig svaralternativ.  

7.  HVOR KAN KARI BO?

Avstanden fra Karis hus til Rådhuset er nøyaktig dobbelt så stor som avstanden fra huset til Kirken. Du skal lete etter huset til Kari. Hvor må du lete for å være helt sikker på å finne Karis hus?

Kryss av riktig alternativ.

8.  PALINDROMTALL 

Et palindromtall er et tall som ”leses” likt forlengs og baklengs. 1331 er eksempel på et slikt tall. 123454321 er et annet eksempel.

A)    Finn et palindromtall mindre enn 100 000 som er delelig med 3, der produktet av sifrene er lik 200.

B)    Hvor mange palindromtall finnes med i alt den egenskapen at produktet av sifrene er 200 uten at 1 forekommer som siffer i tallet?

Løsningsforslag:

1.  SPESIELL TALLREKKE

Svar:

Løsningsforslag:

1.      Summen av andre og tredje tall må være 333-4=329

2.      Summen av de tre første tallene er 333

3.      Av 1 og 2 følger at første tall er 4. På samme måte får vi at hvert 3. tall må være 4, slik:

4.      Tallet på 11. plass er 333-4-12=317

5.      Tallet på 9. plass er 333-4-317=12

6.      Nå ser vi at de samme tre tallene gjentar seg hele veien: 4, 317, 12

2.  FRA REKTANGEL TIL KVADRAT

 SVAR: Arealet av kvadratet er 175 cm².

 Løsningsforslag:

 Vi regner uten benevning.

I de tre rektanglene er kortsidene halvparten av langsidene. Vi kaller lengden av kortsidene for x.

Da er sidene i det store rektangelet 3x og 2x. Vi kan sette opp uttrykk for areal og omkrets:

Arealet: 2x × 3x = 168 , som gir 6x² = 168  eller  x² = 168 : 6 = 28

Omkretsen: 2x + 3x + 2x + 3x = 10x

La sida i kvadratet være s. Da er areal og omkrets henholdsvis s² og 4s. Omkretsene er like. Det betyr at:

4s = 10x , som gir s = 5/2 x

Arealet av kvadratet er:

A = s² = (5/2x)² = 25/4 × 28 = 175

Arealet av kvadratet er 175 cm².

3.  TREKANTER I EN SEKSKANT 

SVAR: 40%

Løsningsforslag:

For hvert punkt kan det lages 10 ulike trekanter hvor 3 er likebeint og 1 likesidet.

FIGUR:

4.  GO

SVAR: 13

Løsningsforslag:

Det går an ved å plassere brikkene i en kvadratform med sidekanter 45 grader med rutene.

5.  TERNINGKAST

SVAR: Alternativ D  (Alle tre alternativene er like sannsynlig.)

Løsningsforslag:

Med tre terninger kan følgende kast oppstå:

Vi ser at terningkast der 2 kast er like og ett forskjellig forekommer på 3 måter, 3 ulike på 6 måter og 3 like på 1 måte. Dvs, 

Sum 6 forekommer i kombinasjon (2,2,2) og (1,1,4) i tillegg til (1,2,3), dvs 10 ganger
Sum 7 forekommer i kombinasjon (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,3), dvs 15 ganger
Sum 8 forekommer i kombinasjon (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4), (2,3,3), dvs 21 ganger
Sum 9 forekommer i kombinasjon (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3), dvs 25 ganger
Sum 10 forekommer i kombinasjon ( (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4) dvs 27 ganger
Sum 11 forekommer i kombinasjon (1,4,6), (1,5,5), (2,3,6), (2,4,5), (3,3,5), (3,4,4) dvs 27 ganger
Sum 12 forekommer i kombinasjon (1,5,6), (2,4,6), (2,5,5), (3,3,6), (3,4,5), (4,4,4), dvs 25 ganger
Sum 13 forekommer i kombinasjon (1,6,6), (2,5,6), (3,4,6), (3,5,5), (4,4,5), dvs 21 ganger
Sum 14 forekommer i kombinasjon (2,6,6), (3,5,6), (4,4,6), (4,5,5), dvs  15 ganger
Sum 15 forekommer i kombinasjon (3,6,6), (4,5,6), (5,5,5), dvs 10 ganger 
Sum 16 forekommer i kombinasjon (4,6,6), (5,5,6), dvs 6 ganger
Sum 17 forekommer i kombinasjon (5,6,6), dvs 3 ganger
Sum 18 forekommer i kombinasjon (6,6,6), dvs 1 gang

OPPSUMMERING

Vi får 0 til rest når summen er 3, 6, 9, 12, 15 og 18, dvs 72 ganger
Vi får 1 til rest når summen er 4, 7, 10, 13 og 16, dvs 72 ganger
Vi får 2 til rest når summen er 5, 8, 11, 14 og 17, dvs 72 ganger

6.  GULROTJUICE

SVAR:  Alternativ B  (4 ganger)

7.  HVOR KAN KARI BO?

SVAR: Alternativ D  (et sted langs en sirkel med sentrum litt bortenfor kirken)

To figurer som kanskje illustrerer løsningen:

a)

b)

Forklaringer til figur b):

   R:     Rådhuset
   K:     Kirken
   S:     Sentrum i sirkelen

   H₁ og H₂:    To eksempler på plassering av Karis hus langs sirkellinjen
   a og 2a:      Avstanden fra huset (H₁) til henholdsvis kirken (K) og rådhuset (R)
   b og 2b:      Avstanden fra huset (H₂) til henholdsvis kirken (K) og rådhuset (R)

H₁ og H₂ finner vi ved å slå sirkelbuer med radius lik a og 2a og deretter med radius b og 2b med henholdsvis K og R som sentrum. Dette kan gjøres uendelig mange ganger, og det viser seg at skjæringspunktene for sirkelbuene ligger på en sirkel med sentrum i S (dvs. på den inntegnede sirkelen). Avstanden fra S til K er 1/3 av avstanden mellom K og R.

Skalaen under figuren illustrerer plassering av sirkelens sentrum i forhold til kirken og rådhuset, samt størrelsen på sirkelens radius i forhold til avstanden mellom kirken og rådhuset.

8.  PALINDROMTALL

Svar: