Opgaver og løsningsforslag (løsningene - på norsk - er samlet mot slutten av filen)

•  Riktigt svar giver 5 point.

• Forkert svar giver 0 point. 

• Ubesvaret opgave  giver 1 point.

• I nogle opgaver kan der gives mellem 0 og 5 point for delvis riktigt svar.

 Lykke til
Os i KappAbel

1.  SPECIEL TALRÆKKE

Tolv hele tall skrives efter hinanden på en række. Det fjerde tal er 4 og det tolvte tallet er 12. Summen af tre nabotal er 333 uanset hvor i rækken de står.

Indsæt de manglende tal:

2.  FRA REKTANGEL TIL KVADRAT

Tre rektangler med samme størrelse og form er sat sammen til et større rektangel. Arealet af det store rektangel er 168 cm². 

Find arealet af det kvadrat der har samme omkreds som det store rektangel.

Skriv svaret i kassen:

Svar:

cm2

3.  TREKANTER I EN SEKSKANT  

Vælg tre tilfældige hjørner i en regulær sekskant (alle sider er lige lange og alle vinkler er 120°).

Hvad er sandsynligheden for at trekanten som dannes af disse tre hjørner er en ligebenet eller ligesidet trekant?

Opgiv svaret i procent.

4.  GO

Go er et Japansk spil hvor spillerne efter tur placerer hvide og sorte brikker i krydsene i et rudenet for at kapre krydsene i området indenfor. 

I eksemplet på figuren er der brugt 10 brikker for at kapre 3 krydser.

Hvad er det største antal krydser, der kan kapres med 12 brikker?

5.  TERNINGKAST

Når tre almindelige terninger kastes, hvad er da det mest sandsynligt af udfaldene A, B, C eller D nedenfor?

A)    at summen af tallene på terningerne er delelig med 3
B)    at summen giver 1 til rest når det deles med 3  
C)    at summen giver 2 til rest når det deles med 3  
D)    Alle tre ovenfor er lige sandsynlige.  

Sæt kryds ved rigtigt svarmulighed (husk at mange af summerne kan opnås på flere måder):

6.  GULERODSJUICE

En juicemaskine bruges til at lave gulerodsjuice. Den første gang du presser gulerødderne, får du en fjerdedel af juicen i gulerødderne. For hver gang du presser gulerødderne efter dette, får du en fjerdedel af den juice som er tilbage i gulerødderne.

Hvor mange gange skal du presse gulerødderne for at du har fået mindst to tredjedele af juicen ud af gulerødderne?

A)    2 gange
B)    4 gange  
C)    6 gange  
D)    8 gange  
E)    umuligt uanset antal forsøg 

Sæt kryds ved det rigtige svarmulighed.  

7.  HVOR KAN KARIN BO?

Afstanden fra Karins hus til rådhuset er nøjagtig dobbelt så lang som afstanden fra huset til kirken. Du skal finde Karins hus. Hvor må du lede for at være helt sikker på at finde Karins hus?

A)	i et bestemt punkt på linjen mellem rådhuset og kirken
B)	i et punkt mellem kirken og rådhuset, eller i et punkt på forlængelsen af linjen mellem kirken og rådhuset
C)	langs en cirkel med centrum i kirken
D)	langs en cirkel med centrum lidt væk fra kirken
E)	langs en ret linje som står vinkelret på linjen mellem rådhuset og kirken

Sæt kryds ved rigtigt svarmulighed.

8.  PALINDROMTAL 

Et palindromtal er et tal som ”læses” ens forfra og bagfra. 1331 er et eksempel på et sådan tal. 123454321 er et andet eksempel.

A)    Find et palindromtal der er mindre end 100 000 som er deleligt med 3, og hvor produktet af cifrene er lig med 200.

B)    Hvor mange palindromtal findes med den egenskab at produktet af cifrene er 200, og hvor 1 ikke er et ciffer i tallet?

Løsningsforslag:

1.  SPESIELL TALLREKKE

Svar:

Løsningsforslag:

1.      Summen av andre og tredje tall må være 333-4=329

2.      Summen av de tre første tallene er 333

3.      Av 1 og 2 følger at første tall er 4. På samme måte får vi at hvert 3. tall må være 4, slik:

4.      Tallet på 11. plass er 333-4-12=317

5.      Tallet på 9. plass er 333-4-317=12

6.      Nå ser vi at de samme tre tallene gjentar seg hele veien: 4, 317, 12

2.  FRA REKTANGEL TIL KVADRAT

 SVAR: Arealet av kvadratet er 175 cm².

 Løsningsforslag:

 Vi regner uten benevning.

I de tre rektanglene er kortsidene halvparten av langsidene. Vi kaller lengden av kortsidene for x.

Da er sidene i det store rektangelet 3x og 2x. Vi kan sette opp uttrykk for areal og omkrets:

Arealet: 2x × 3x = 168 , som gir 6x² = 168  eller  x² = 168 : 6 = 28

Omkretsen: 2x + 3x + 2x + 3x = 10x

La sida i kvadratet være s. Da er areal og omkrets henholdsvis s² og 4s. Omkretsene er like. Det betyr at:

4s = 10x , som gir s = 5/2 x

Arealet av kvadratet er:

A = s² = (5/2x)² = 25/4 × 28 = 175

Arealet av kvadratet er 175 cm².

3.  TREKANTER I EN SEKSKANT 

SVAR: 40%

Løsningsforslag:

For hvert punkt kan det lages 10 ulike trekanter hvor 3 er likebeint og 1 likesidet.

FIGUR:

4.  GO

SVAR: 13

Løsningsforslag:

Det går an ved å plassere brikkene i en kvadratform med sidekanter 45 grader med rutene.

5.  TERNINGKAST

SVAR: Alternativ D  (Alle tre alternativene er like sannsynlig.)

Løsningsforslag:

Med tre terninger kan følgende kast oppstå:

Vi ser at terningkast der 2 kast er like og ett forskjellig forekommer på 3 måter, 3 ulike på 6 måter og 3 like på 1 måte. Dvs, 

Sum 6 forekommer i kombinasjon (2,2,2) og (1,1,4) i tillegg til (1,2,3), dvs 10 ganger
Sum 7 forekommer i kombinasjon (1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,3), dvs 15 ganger
Sum 8 forekommer i kombinasjon (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (2,2,4), (2,3,3), dvs 21 ganger
Sum 9 forekommer i kombinasjon (1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3), dvs 25 ganger
Sum 10 forekommer i kombinasjon ( (1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4) dvs 27 ganger
Sum 11 forekommer i kombinasjon (1,4,6), (1,5,5), (2,3,6), (2,4,5), (3,3,5), (3,4,4) dvs 27 ganger
Sum 12 forekommer i kombinasjon (1,5,6), (2,4,6), (2,5,5), (3,3,6), (3,4,5), (4,4,4), dvs 25 ganger
Sum 13 forekommer i kombinasjon (1,6,6), (2,5,6), (3,4,6), (3,5,5), (4,4,5), dvs 21 ganger
Sum 14 forekommer i kombinasjon (2,6,6), (3,5,6), (4,4,6), (4,5,5), dvs  15 ganger
Sum 15 forekommer i kombinasjon (3,6,6), (4,5,6), (5,5,5), dvs 10 ganger 
Sum 16 forekommer i kombinasjon (4,6,6), (5,5,6), dvs 6 ganger
Sum 17 forekommer i kombinasjon (5,6,6), dvs 3 ganger
Sum 18 forekommer i kombinasjon (6,6,6), dvs 1 gang

OPPSUMMERING

Vi får 0 til rest når summen er 3, 6, 9, 12, 15 og 18, dvs 72 ganger
Vi får 1 til rest når summen er 4, 7, 10, 13 og 16, dvs 72 ganger
Vi får 2 til rest når summen er 5, 8, 11, 14 og 17, dvs 72 ganger

6.  GULROTJUICE

SVAR:  Alternativ B  (4 ganger)

7.  HVOR KAN KARI BO?

SVAR: Alternativ D  (et sted langs en sirkel med sentrum litt bortenfor kirken)

To figurer som kanskje illustrerer løsningen:

a)

b)

Forklaringer til figur b):

   R:     Rådhuset
   K:     Kirken
   S:     Sentrum i sirkelen

   H₁ og H₂:    To eksempler på plassering av Karis hus langs sirkellinjen
   a og 2a:      Avstanden fra huset (H₁) til henholdsvis kirken (K) og rådhuset (R)
   b og 2b:      Avstanden fra huset (H₂) til henholdsvis kirken (K) og rådhuset (R)

H₁ og H₂ finner vi ved å slå sirkelbuer med radius lik a og 2a og deretter med radius b og 2b med henholdsvis K og R som sentrum. Dette kan gjøres uendelig mange ganger, og det viser seg at skjæringspunktene for sirkelbuene ligger på en sirkel med sentrum i S (dvs. på den inntegnede sirkelen). Avstanden fra S til K er 1/3 av avstanden mellom K og R.

Skalaen under figuren illustrerer plassering av sirkelens sentrum i forhold til kirken og rådhuset, samt størrelsen på sirkelens radius i forhold til avstanden mellom kirken og rådhuset.

8.  PALINDROMTALL

Svar:   A) 585

            B) Tre tall (585, 52225 og 25252)