2007/08 – 2. runde

Oppgaver og løsninger

A:  Oppgavene
B:  Løsninger

Regler for poenggivning på oppgavene (i henhold til konkurransereglene) :

      ·        Riktig svar gir 5 poeng. 
·        Galt svar gir 0 poeng
·        Ubesvart oppgave gir 1 poeng.
        o       NB: Spesiell poenggivning på oppgavene 2, 3, 6 og 7. – Se detaljer 
             etter oppgaven.

Arbeidstid: 80 minutter

Følgende hjelpemidler er IKKE tillatt: Mobiltelefon o.l. samt internett.

A:  Oppgavene

1.         LYKT I EN STOLPE

Trine, som er 180 cm høy, står 8 meter fra en lyktestolpe og ser ned på sin skygge som ser ut til å være cirka 2 meter lang.

Hvor høyt henger lykten på denne stolpen?

  Sett kryss for ett av disse svaralternativene:

2.         PRIMTALLSTVILLINGER

Tallpar som

                        3 og 5,  5 og 7,  11 og 13 ….

der begge tallene er primtall, kalles primtallstvillinger (differansen mellom primtallstvillinger er alltid 2).

Deres oppgave er å bestemme de fire neste primtallstvillingene, dvs. de som følger etter 11 og 13 i tallrekken for de naturlige tall.

Skriv de neste primtallstvillingene i stigende rekkefølge:

Poeng på denne oppgaven:
4 korrekte svar gir 5 poeng, mens 3, 2 og 1 korrekt svar gir henholdsvis 4, 3, og 2 poeng.
4 blanke svar gir 1 poeng. Bare gale svar (evt. i kombinasjon med blanke svar) gir 0 poeng.

3.         TIDSFORSKJELLEN

Maria har vært inne på internett for å bestille flybilletter, og har fått frem

Fra                  Los Angeles
Til                   Amsterdam (Schiphol)   
Avgang          18:50 Søndag 23 Mar 08 
Ankomst        13:05 Mandag 24 Mar 08
Flytid              10 timer 15 minutter

A)        Hva er etter dette tidsforskjellen mellom Los Angeles og Amsterdam?  

Maria prøver å ringe kjæresten sin i Los Angeles en halv time etter ankomst til Amsterdam.

B)        Hva er da klokken i Los Angeles dersom flyet er i rute?

Poeng på denne oppgaven:
Korrekt svar på A eller B gir 3 poeng. Korrekt svar på begge oppgaver gir 5 poeng.
2 blanke svar gir 1 poeng. 2 gale (eller 1 galt og 1 blankt) svar gir 0 poeng.

4.         PENTAGRAMMET

Når sidene i en regulær femkant ABCDE forlenges, vil de skjære hverandre i punktene FGHIJ som i det stjerneformede pentagrammet nedenfor (som åpenbart ikke er helt nøyaktig tegnet).

Hvor stor er da vinkelen AFB ?

Sett kryss for ett av disse svaralternativene:

5.         EKSAMENSTIDEN

Per har eksamen i matematikk. Etter at en tredel av eksamenstiden er gått, tar han en 20 minutters pause. Når han kommer tilbake, er det ennå 60 % av tiden igjen.

Hvor lang er eksamenstiden for denne eksamenen?

6.         FLAGGET

En norsk kommune har nettopp fått bystatus, og kommunestyret har bestemt at alle offentlige bygninger skal dekoreres med et rektangulært flagg, som skal se ut som på figuren.

Flagget består av et rektangel, en rettvinklet trekant, en halvsirkel, og to felter til. 
Rektangelet til venstre, som skal være blått, er dobbelt så høyt som det er bredt.

A)        Hvor stor del av flagget utgjøres av det feltet til høyre som er avgrenset av to rette linjer og en kvart sirkelbue (markert med et spørsmålstegn)?

Velg det svaralternativet som er nærmest deres svar:

Alle feltene i flagget skal være farget, men to nabofelter kan ikke ha samme farge. Det er greit om to felter med samme farge møtes i et punkt, men de kan ikke ha noen felles kant.

Fargene skal være rødt, gult og blått, og minst to av fargene skal brukes. Rektangelet til venstre skal som nevnt være blått uansett,

B)        På hvor mange måter kan flagget fargelegges?

Poeng på denne oppgaven:
Korrekt svar på A eller B gir 3 poeng. Korrekt svar på begge oppgaver gir 5 poeng.
2 blanke svar gir 1 poeng. 2 gale (eller 1 galt og 1 blankt) svar gir 0 poeng.

 7.         ET MAGISK KVADRAT

Tallene

6,  8,  10,  11,  13,  14,  16  og  17

skal plasseres inn i de ledige feltene i kvadratet nedenfor slik at summene langs de vannrette radene, langs de loddrette søylene og langs begge de to hoveddiagonalene (a-c-7-h og f-d-18-5) er like.

A:        Hvilket tall skal stå i rute c, og hvilket tall skal stå i rute e?

I en av rutene utenom c og e er riktig tall et primtall.

B:        I hvilken rute utenom c og e skrives det inn et primtall, og hva er dette 
            primtallet?

Poeng på denne oppgaven:
2 korrekte svar på A gir 3 poeng, 1 korrekt svar på A gir 2 poeng, mens korrekt svar B – både rute og tall må være korrekt – gir 3 poeng. 
Helt korrekte svar på både A og B gir 5 poeng.
1 korrekt svar på A i kombinasjon med korrekt svar på B gir 4 poeng.
3 blanke svar gir 1 poeng. Bare gale svar (evt. i kombinasjon med blanke svar) gir 0 poeng.

8.         OVER  BEKKEN

Alt etter om Per velger å benytte alle steinene for å komme seg over bekken eller ikke, ser vi at det er flere måter å komme tørrskodd over bekken på.

På hvor mange måter kan Per krysse bekken uten å bli våt?  

B:  Løsninger

1.         LYKT I EN STOLPE

Rett svar:       D – 9,0 m

Trine er 1,8 m høy, som utgjør 1,8/2 eller 9/10 av lengden av hennes egen skygge.
Lampens høyde over bakken er da 9/10 av avstanden langs bakken fra punktet rett under lampen til enden av skyggen.  Denne avstanden er 10 m, og 9/10 av 10 m er 9 m.

2.         PRIMTALLSTVILLINGER

Rett svar: 
A: 17 og 19
B: 29 og 31
C: 41 og 43
D: 59 og 61

De neste primtallstvillingene er 71 og 73, 101 og 103, 107 og 109. 
(51 og 53 er ikke primtallstvillinger, ettersom 51 = 3 x 17.)

3.         TIDSFORSKJELLEN

Rett svar: 
A:  8 timer
B:  05:35

Sett fra Los Angeles:
Ankomsttid = Avgangstid + Reisevarighet = 18:50 + 10:15 = 29:05, 
som tilsvarer 05:05 neste dag (29:05 – 24:00 = 05:05).

Når klokken er 13:05 i Amsterdam idet klokken er 05:05 i Los Angeles, er tidsforskjellen mellom Los Angeles og Amsterdam (13:05 – 05:05) timer = 8 timer.

30 minutter etter kl. 05:05 er klokken 05:35.

4.         PENTAGRAMMET

Rett svar:       C – 36° 

Vinkelen EAB i en regulær femkant er 108°        *)
slik at vinkelen BAF blir 180° – 108° = 72°. 
Da blir vinkelen AFB lik 180°  – 72°  – 72°  = 36°

*):        Dette kan vi finne ut slik:
Del femkanten i 5 trekanter. Deres totale vinkelsum er 5 x 180° = 900°. 
Vinkelsummen i 1 femkant blir 900° – 360° = 540°, og 540° : 5 = 108°

En annen løsning:

Tenk deg at du stiller deg i H med front mot J og at du så går fra hjørne til hjørne i rekkefølgen H – J – G – I – F – H og stiller deg i H med front mot J når ”turen” er ferdig. I løpet av ”turen” har du dreid 360° rundt 2 ganger, dvs. til sammen 720°. I hvert av hjørnene har du dreid 720° : 5 = 144°. Dermed har det i hvert hjørne manglet 180° – 144° = 36° på at du gikk tilbake i samme retning som du kom.

5.         EKSAMENSTIDEN

   Rett svar:       5 timer

Tiden før og etter pausen (1/3 + 60 % av hele eksamenstiden) utgjør 14/15 av eksamenstiden.
Det betyr at de 20 pauseminuttene utgjør 1/15 av hele eksamenstiden, som da totalt er på 20 x 15 min = 300 min = 5 timer.

6.         FLAGGET

Her er alle mulighetene:

7.         ET MAGISK KVADRAT

Det fylte kvadratet skal inneholde tallene 3 – 18. Summen av alle disse tallene er 168, og summen i hver rad og kolonne er 168 : 4 = 42.

Når man vet dette, kan man fylle ut de tomme rutene i for eksempel denne rekkefølgen: c – b – a – f – d – e. (Resten av rutene trenger man ikke fylle ut.)

8.         OVER BEKKEN

Rett svar:       37

Det er 7 ulike mønstre for å krysse denne bekken.

A:        Per trør på alle steinene                                                       1 mulighet
B:        Per hopper over 1 stein                                                        6 muligheter
C:        Per hopper over 1 + 1 stein                                               10 muligheter
D:        Per hopper over 2 nabosteiner                                            5 muligheter
E:        Per hopper over 1 stein + 2 nabosteiner                            6 muligheter
F:        Per hopper over 2 nabosteiner + 1 stein                            6 muligheter
G:        Per hopper over 2 nabosteiner + 2 nabosteiner               3 muligheter
            Sum:                                                                                     37 muligheter

05.02.08